Reseña de Towards a Philosophy of Real Mathematics de David Corfield

Reseña de Towards a Philosophy of Real Mathematics de David Corfield

Towards a Philosophy of Real Mathematics (Cambridge University Press, 2003) de David Corfield es una obra ambiciosa y provocadora que desafía las concepciones tradicionales de la filosofía de las matemáticas. A lo largo de sus 288 páginas, Corfield argumenta que la filosofía de las matemáticas debe alejarse de su enfoque casi exclusivo en los fundamentos de la disciplina (como la teoría de conjuntos, la lógica y la teoría de la prueba) y centrarse en lo que él denomina "matemáticas reales", es decir, las prácticas, conceptos y desarrollos que caracterizan el trabajo de los matemáticos contemporáneos en áreas centrales como el álgebra, la topología algebraica, la geometría diferencial y la teoría de números. Esta reseña ofrece un análisis detallado de los objetivos, estructura, argumentos principales y contribuciones del libro, evaluando su impacto tanto para filósofos como para matemáticos, así como sus posibles limitaciones.

Contexto y motivación

El libro surge en un contexto en el que la filosofía de las matemáticas ha estado dominada por debates sobre la naturaleza ontológica de los objetos matemáticos (por ejemplo, si los números "existen") y cuestiones epistemológicas relacionadas con la certeza de las pruebas formales. Corfield critica este enfoque, al que llama el "filtro fundacionalista", por su desconexión con las prácticas reales de los matemáticos. Según él, la filosofía de las matemáticas ha ignorado en gran medida los desarrollos en las áreas más prestigiosas y dinámicas de la matemática moderna, como la teoría de categorías o la topología algebraica, que son las que impulsan los avances en la disciplina y atraen la atención de los principales departamentos de matemáticas.

El título del libro, que alude al movimiento británico Campaign for Real Ale (CAMRA), refleja el tono provocador de Corfield. Al igual que CAMRA busca preservar las técnicas tradicionales de elaboración de cerveza frente a productos industriales insípidos, Corfield aboga por una filosofía de las matemáticas que se nutra de las prácticas reales de los matemáticos, pasadas y presentes, en lugar de limitarse a debates abstractos y descontextualizados. Su objetivo es reorientar la filosofía de las matemáticas hacia un enfoque más histórico, contextual y centrado en la práctica, inspirándose en el éxito de la filosofía de la física, que ha logrado integrar los desarrollos más avanzados de esa disciplina en sus discusiones.

Estructura del libro

El libro está dividido en cuatro partes, cada una abordando un aspecto diferente de la filosofía de las matemáticas desde la perspectiva de las "matemáticas reales":

Matemáticos humanos y artificiales: Esta sección explora el papel de la tecnología en las matemáticas, particularmente los sistemas de demostración automática y la formación de conjeturas por computadora. Corfield examina si estas herramientas pueden considerarse como "haciendo matemáticas reales" y analiza el papel de la analogía en el razonamiento matemático.

Plausibilidad, incertidumbre y probabilidad: Aquí, Corfield propone aplicar enfoques bayesianos a las matemáticas, sugiriendo que los matemáticos a menudo trabajan con grados de creencia y plausibilidad, en lugar de certezas absolutas. También compara la incertidumbre en las matemáticas con la de las ciencias naturales.

El crecimiento de las matemáticas: Esta parte se centra en la evolución de los conceptos matemáticos, utilizando la filosofía de Imre Lakatos para analizar cómo los programas de investigación matemática se desarrollan y justifican. Corfield también subraya la importancia de la conceptualización matemática como un proceso dinámico.

La interpretación de las matemáticas: La sección final aborda cómo los matemáticos interpretan y desarrollan nuevas estructuras, con un énfasis particular en el álgebra de dimensiones superiores, un campo emergente en el momento de la publicación del libro.

Cada capítulo está enriquecido con ejemplos concretos de matemáticas contemporáneas, lo que hace que el libro sea accesible tanto para filósofos con conocimientos básicos de matemáticas como para matemáticos interesados en la filosofía.

Argumentos principales

Crítica al filtro fundacionalista

El argumento central de Corfield es que la filosofía de las matemáticas ha sido limitada por su obsesión con los fundamentos, lo que ha llevado a una desconexión con las prácticas reales de los matemáticos. Él sostiene que, al reducir las matemáticas a sistemas axiomáticos formales, los filósofos han ignorado las preguntas filosóficas que surgen en niveles más altos de abstracción y en la práctica diaria de los matemáticos. Por ejemplo, los debates sobre la existencia de los números o la validez de las pruebas formales no explican por qué ciertos conceptos, como los grupos o los espacios de Hilbert, dominan el discurso matemático, mientras que otros son considerados marginales.

Corfield compara esta situación con la filosofía de la biología, donde nadie argumentaría que la biología es irrelevante porque "todo se reduce a la física de partículas". Del mismo modo, sostiene que los filósofos de las matemáticas deben comprometerse con las áreas centrales de la disciplina para descubrir preguntas filosóficas relevantes.

La importancia de la historia

Otro pilar de su argumento es el papel de la historia en la filosofía de las matemáticas. Corfield critica la visión ahistórica que predomina en la filosofía tradicional, que trata las verdades matemáticas como atemporales y universales. En cambio, propone un enfoque inspirado en la filosofía de la ciencia, donde el desarrollo histórico de los conceptos es fundamental para entender su significado y relevancia. Por ejemplo, el desarrollo del álgebra de dimensiones superiores o la teoría de categorías no puede entenderse sin considerar su evolución histórica y los problemas que los matemáticos intentaban resolver en cada etapa.

Nuevos enfoques filosóficos

Corfield propone varias estrategias para enriquecer la filosofía de las matemáticas. Entre ellas, destaca el uso de la teoría de la confirmación bayesiana para analizar cómo los matemáticos evalúan la plausibilidad de conjeturas, la aplicación de la filosofía de Lakatos para entender los programas de investigación matemática y el estudio de la analogía como una herramienta clave en el descubrimiento matemático. También explora el impacto de las tecnologías computacionales, como los demostradores automáticos de teoremas, y se pregunta si estas herramientas realizan "matemáticas reales" o simplemente automatizan procesos mecánicos.

El caso del álgebra de dimensiones superiores

Un capítulo destacado del libro es el dedicado al álgebra de dimensiones superiores, un campo que, en 2003, estaba ganando tracción en la comunidad matemática. Corfield utiliza este ejemplo para ilustrar cómo los nuevos conceptos matemáticos surgen y se justifican, desafiando la idea de que las matemáticas son un cuerpo estático de conocimiento. Este enfoque no solo demuestra su compromiso con las matemáticas contemporáneas, sino que también sirve como un modelo para cómo los filósofos pueden interactuar con desarrollos emergentes.

Contribuciones y relevancia

Towards a Philosophy of Real Mathematics es una contribución significativa porque obliga a los filósofos a reconsiderar qué significa hacer filosofía de las matemáticas. Al centrarse en las prácticas reales de los matemáticos, Corfield abre un espacio para preguntas que no se limitan a la lógica o la ontología, sino que abordan cómo los matemáticos piensan, descubren y justifican sus ideas. Su énfasis en la historia y el contexto también proporciona un marco para entender las matemáticas como una disciplina dinámica y en evolución, en lugar de un conjunto de verdades eternas.

Para los matemáticos, el libro es igualmente valioso. Como señala Dennis Lomas en su reseña para la Mathematical Association of America, el libro es relevante en un momento en que las matemáticas parecen estar buscando nuevas direcciones. Al destacar áreas como la teoría de categorías y el álgebra de dimensiones superiores, Corfield ofrece a los matemáticos una perspectiva filosófica sobre su propio trabajo, lo que puede inspirar nuevas formas de pensar sobre sus investigaciones.

Además, la obra es accesible y está bien estructurada, con ejemplos concretos que ilustran los argumentos filosóficos. Esto la hace atractiva tanto para filósofos con conocimientos matemáticos limitados como para matemáticos interesados en reflexionar sobre su disciplina. La inclusión de referencias a figuras como Imre Lakatos, Alain Connes y George Pólya enriquece el texto y lo conecta con discusiones más amplias en la filosofía de la ciencia y las matemáticas.

Críticas y limitaciones

A pesar de sus méritos, el libro no está exento de críticas. Algunos han señalado que su tono polémico, aunque efectivo para captar la atención, puede alienar a los filósofos que trabajan en enfoques más tradicionales. Por ejemplo, al calificar gran parte de la filosofía de las matemáticas contemporánea como "muerta" para las preocupaciones de los matemáticos, Corfield corre el riesgo de desestimar contribuciones valiosas en áreas fundacionales.

Otra limitación es que, aunque Corfield aboga por un enfoque más amplio, su selección de temas (como el álgebra de dimensiones superiores) puede parecer específica para ciertos subcampos de las matemáticas, lo que podría limitar su relevancia para matemáticos que trabajan en otras áreas. Además, algunos críticos han señalado que el libro no profundiza lo suficiente en ciertos temas, como los detalles técnicos de los enfoques bayesianos o la implementación práctica de los demostradores automáticos de teoremas.

Finalmente, la ambición del libro de cubrir un rango tan amplio de temas (desde la historia hasta la informática y la topología) puede hacer que algunas secciones se sientan menos desarrolladas. Los lectores que busquen un análisis exhaustivo de un solo tema podrían encontrar el libro más introductorio que definitivo.

En Towards a Philosophy of Real Mathematics, David Corfield destaca la analogía y la conjetura como herramientas fundamentales en la práctica matemática, desafiando la visión tradicional que privilegia las pruebas formales y los fundamentos axiomáticos. A continuación, se analiza su importancia según el marco de Corfield, complementado con una perspectiva general sobre su rol en las matemáticas.

La analogía en las matemáticas

La analogía es un mecanismo central en el descubrimiento matemático, ya que permite a los matemáticos identificar patrones, trasladar ideas entre dominios y generar nuevos conceptos. Corfield argumenta que los matemáticos no solo trabajan deduciendo teoremas de axiomas, sino que a menudo avanzan comparando estructuras o problemas aparentemente dispares para encontrar similitudes que guíen la investigación.

Rol en el descubrimiento: La analogía impulsa la creatividad matemática. Por ejemplo, Corfield menciona cómo la teoría de categorías, un campo moderno que unifica diferentes áreas de las matemáticas, surgió al reconocer analogías estructurales entre álgebra, topología y geometría. Los matemáticos, como Saunders Mac Lane, utilizaron estas similitudes para desarrollar conceptos abstractos como funtores y transformaciones naturales, que ahora son fundamentales.

Ejemplo histórico: Un caso clásico es el trabajo de Georg Cantor sobre teoría de conjuntos, donde las analogías entre números finitos e infinitos llevaron al desarrollo de los números transfinitos. Corfield subraya que estas conexiones no surgen de un razonamiento puramente deductivo, sino de un proceso intuitivo que identifica patrones familiares en contextos nuevos.

Implicaciones filosóficas: Corfield sugiere que la analogía desafía la visión de las matemáticas como un sistema rígido y formal. En lugar de limitarse a pruebas, los matemáticos usan la analogía para explorar, proponer hipótesis y justificar la relevancia de ciertos problemas. Esto resalta la naturaleza humana y creativa de las matemáticas, que la filosofía tradicional a menudo ignora.

La conjetura en las matemáticas

Las conjeturas, según Corfield, son esenciales para el progreso matemático, ya que actúan como guías para la investigación y reflejan la incertidumbre inherente a la práctica matemática. En lugar de ser meras suposiciones, las conjeturas son hipótesis informadas que surgen de la observación, la intuición y, frecuentemente, de analogías.

Guía para la investigación: Corfield utiliza el marco de Imre Lakatos para argumentar que las conjeturas son el núcleo de los "programas de investigación" matemática. Por ejemplo, la conjetura de Riemann, que postula una relación entre los ceros de la función zeta y la distribución de los números primos, ha orientado décadas de investigación en teoría de números, incluso sin haber sido demostrada. Estas conjeturas no solo plantean preguntas, sino que definen direcciones para el desarrollo de nuevas teorías y técnicas.

Plausibilidad y enfoque bayesiano: Corfield propone que los matemáticos evalúan las conjeturas usando un enfoque similar al bayesianismo, asignando grados de plausibilidad basados en evidencia acumulada, analogías con resultados conocidos y patrones observados. Por ejemplo, la conjetura de Goldbach (que todo número par mayor que 2 puede expresarse como suma de dos primos) gana credibilidad por verificaciones empíricas extensas, aunque no exista una prueba formal.

Conjeturas y computadoras: Corfield también explora cómo las computadoras han ampliado el papel de las conjeturas. Los sistemas computacionales pueden generar hipótesis basadas en datos, como en el caso del programa de formación de conjeturas de Douglas Lenat (AM). Esto plantea preguntas filosóficas sobre si las conjeturas generadas por máquinas son "matemáticas reales", un tema que Corfield aborda en la primera parte de su libro.

Interconexión entre analogía y conjetura

La analogía y la conjetura están íntimamente relacionadas. Las analogías suelen inspirar conjeturas al sugerir que un patrón observado en un dominio puede aplicarse a otro. Por ejemplo, la analogía entre la geometría euclidiana y las geometrías no euclidianas llevó a conjeturas sobre la estructura del espacio físico, influyendo tanto en las matemáticas como en la física. Corfield enfatiza que este proceso no es mecánico, sino que requiere juicio, intuición y creatividad, lo que subraya la naturaleza dinámica de las matemáticas.

Importancia filosófica

Relevancia para la filosofía de las matemáticas: Corfield argumenta que la analogía y la conjetura son prácticas centrales que la filosofía tradicional ha ignorado al centrarse en la lógica formal. Al estudiarlas, los filósofos pueden entender mejor cómo los matemáticos generan conocimiento, en lugar de limitarse a analizar la validez de las pruebas. Esto conecta la filosofía de las matemáticas con la de las ciencias naturales, donde la hipótesis y la analogía también son clave.

Desafío al fundacionalismo: La dependencia de las analogías y conjeturas desafía la idea de que las matemáticas son un sistema puramente deductivo. Corfield sugiere que los matemáticos operan en un contexto de incertidumbre, donde las conjeturas se evalúan por su utilidad y plausibilidad, no solo por su veracidad final. Esto abre espacio para una filosofía de las matemáticas más centrada en la práctica.

Impacto en la educación y la práctica: Reconocer la importancia de la analogía y la conjetura puede transformar cómo se enseñan las matemáticas, fomentando la creatividad y la exploración en lugar de un enfoque rígido en las demostraciones. También resalta el valor de las herramientas computacionales, que pueden asistir en la generación de analogías y conjeturas.

Críticas y limitaciones

Aunque Corfield defiende con entusiasmo el papel de la analogía y la conjetura, algunos críticos podrían argumentar que su enfoque subestima la importancia de la prueba formal como el estándar último de las matemáticas. Además, su discusión sobre el bayesianismo en las conjeturas puede parecer especulativa, ya que no siempre está claro cómo los matemáticos cuantifican la "plausibilidad". Finalmente, el uso de analogías puede ser riesgoso, ya que no todas las similitudes conducen a resultados válidos, un punto que Corfield aborda pero no desarrolla exhaustivamente.

Conclusión

La analogía y la conjetura son pilares fundamentales de las "matemáticas reales" según Corfield, ya que reflejan la creatividad, la incertidumbre y el dinamismo de la práctica matemática. La analogía permite a los matemáticos explorar conexiones inesperadas, mientras que las conjeturas orientan la investigación hacia nuevos horizontes. Al destacar su importancia, Corfield no solo enriquece la filosofía de las matemáticas, sino que también ofrece una visión más humana y contextual de la disciplina, invitando a filósofos y matemáticos a reconsiderar cómo se genera el conocimiento matemático. Este enfoque no solo es relevante para entender las matemáticas contemporáneas, sino que también tiene implicaciones para la enseñanza, la investigación interdisciplinaria y el papel de la tecnología en la matemática moderna.

Conclusión

Towards a Philosophy of Real Mathematics es una obra innovadora que desafía las convenciones de la filosofía de las matemáticas y propone un enfoque más dinámico y contextual para entender la disciplina. Al criticar el "filtro fundacionalista" y abogar por un compromiso con las prácticas reales de los matemáticos, Corfield no solo amplía el alcance de la filosofía de las matemáticas, sino que también invita a los matemáticos a reflexionar sobre su propio trabajo desde una perspectiva filosófica. Aunque no está exento de limitaciones, el libro es una lectura esencial para quienes buscan una filosofía de las matemáticas más conectada con la práctica viva de la disciplina.

Con su combinación de rigor filosófico, ejemplos matemáticos concretos y un tono provocador, el libro logra su objetivo de señalar nuevos caminos para la filosofía de las matemáticas. Es una invitación a filósofos y matemáticos por igual para explorar las "matemáticas reales" con una mente abierta y un espíritu crítico, asegurando que la filosofía de las matemáticas sea tan vibrante y diversa como la disciplina que estudia.

Bibliografía

Corfield, David. Towards a Philosophy of Real Mathematics. Cambridge University Press, 2003.

Bays, Timothy. Reseña de Towards a Philosophy of Real Mathematics. Notre Dame Philosophical Reviews, 2004.

Lomas, Dennis. Reseña de Towards a Philosophy of Real Mathematics. Mathematical Association of America, 2006.

Arana, Andrew. Reseña de Towards a Philosophy of Real Mathematics. Mathematical Intelligencer, 2007.